Robert Kostro jest historykiem, publicystą i dziennikarzem. W latach 80. był związany z opozycyjnym Ruchem Młodej Polski. W latach 90. współpracował z kilkoma periodykami. Był redaktorem „Kwartalnika Konserwatywnego”
W roku 1997 Robert Kostro został powołany na stanowisko dyrektora Departamentu Spraw Zagranicznych w Kancelarii Prezesa Rady Ministrów. Był szefem jego gabinetu politycznego Ministra Kultury i Dziedzictwa Narodowego. Był wicedyrektorem Instytutu Adama Mickiewicza i Komisarzem Generalnym festiwalu Europalia 2001 Polska. Od roku 2006 pełni funkcję dyrektora Muzeum Historii Polski. Jest członkiem rad programowych kilku instytucji kultury, w tym Zakładu Narodowego im. Ossolińskich, Europejskiego Centrum Solidarności i Muzeum Ulmów. Publikował m.in. w „Znaku”, „Życiu”, „Rzeczpospolitej”, „Gazecie Wyborczej”, „Przeglądzie Politycznym”, „Więzi”. Był wraz z Tomaszem Mertą współredaktorem zbioru esejów o polityce historycznej Pamięć i odpowiedzialność.
Robert Kostro jest Przewodniczącym Komitetu Doradczego Sieci.